Question

5．n²（n≥4，n∈N^*）个正数排成一个n行n列的数阵，A=$（\begin{array}{l}{{a}_{11}}&{{a}_{12}}&{{a}_{13}{a}_{14}…{a}_{1n}}\\{{a}_{21}}&{{a}_{22}}&{{a}_{23}{a}_{24}…{a}_{2n}}\\{{a}_{31}}&{{a}_{32}}&{{a}_{33}{a}_{34}…{a}_{3n}}\\{…}&{…}&{…}\\{{a}_{n1}}&{{a}_{n2}}&{{a}_{n3}{a}_{n4}…{a}_{nn}}\end{array}）$，其中a_ij（1≤i≤n，1≤j≤n）表示该数阵中位于第i行第j列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a₂₂=6，a₃₃=16．
（Ⅰ） 求a₁₁和a_ij．
（Ⅱ）设A_n=a_1n+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1．
①求A_n；
②证明：当n是3的倍数时，A_n+n能被21整除．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知a₃₂=12，a₃₃=12+d=16，从而求a₃₁=8；再求得a₂₁=4，a₁₁=2，a₁₂=3，a₁₃=4；从而求a_ij=（j+1）•2^i-1．
（Ⅱ）①化简A_n=（n+1）2⁰+n2¹+（n-1）2²+…+2•2^n-1，从而利用错位相减法求解；②化简A_n+n=3•2ⁿ-n-3+n=3•（2ⁿ-1）=3•（2^3k-1）=3•（（7+1）^k-1），从而利用二项式求解．

解答 解：（Ⅰ）由已知a₃₂=a₂₂×q=6×2=12，a₃₃=a₃₂+d=12+d=16，
解得d=4；
a₃₁，a₃₂，a₃₃，…是公差为4的等差数列，
故a₃₁=8；
又每一列的数成公比为2的等比数列，
故a₂₁=4，a₁₁=2，a₁₂=3，a₁₃=4；
故a_ij=a_1j•2^i-1=（a₁₁+j-1）•2^i-1=（j+1）•2^i-1，
即a_ij=（j+1）•2^i-1，
（Ⅱ）由a_ij=（j+1）•2^i-1，
①由A_n=a_1n+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1，
A_n=（n+1）2⁰+n2¹+（n-1）2²+…+2•2^n-1    （1）
2A_n=（n+1）2¹+n2²+（n-1）2³+…+2ⁿ⁺¹   （2）
（2）-（1）得，
A_n=-（n+1）+[2+2²+2³+…+2^n-1]+2ⁿ⁺¹
=3•2ⁿ-n-3；
即A_n=3•2ⁿ-n-3；
②证明：A_n+n=3•2ⁿ-n-3+n=3•（2ⁿ-1），
∵n是3的倍数，
令n=3k，k∈N⁺，
∴A_n+n=3•（2^3k-1）=3•（（7+1）^k-1）
=21[${C}_{k}^{0}$7^k-1+${C}_{k}^{1}$7^k-2+${C}_{k}^{2}$7^k-3+…+${C}_{k}^{k-1}$]，
∵${C}_{k}^{0}$7^k-1+${C}_{k}^{1}$7^k-2+${C}_{k}^{2}$7^k-3+…+${C}_{k}^{k-1}$是整数，
∴A_n+n能被21整除．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及错位相减法的应用，同时考查了二项式定理的应用．