Question

15．某青少年篮球俱乐部对甲乙两名篮球动员进行定点投篮测试，规定每人投3次，其中甲每次投篮命中的概率为0.8，乙每次投篮命中的概率为q，已知两人各投篮一次，两人至少有一人命中的概率为0.98．
（I）计算q的值并求乙命中次数ξ的分布列及期望；
（2）计算这两人投篮进球的总次数不少于5次的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知利用对立事件概率计算公式能求出q．从而乙命中次数ξ～B（3，0.9），由此能求出ξ的分布列及期望．
（2）这两人投篮进球的总次数不少于5次的概率p=${C}_{3}^{2}0．{9}^{2}•0.1•0．{8}^{3}$+${C}_{3}^{2}0．{8}^{2}•0.2•0．{9}^{3}$+0.8³•0.9³，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵甲每次投篮命中的概率为0.8，乙每次投篮命中的概率为q，
两人各投篮一次，两人至少有一人命中的概率为0.98，
∴1-（1-0.8）（1-q）=0.98，解得q=0.9．
∴乙命中次数ξ～B（3，0.9），
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（0.1）^{3}$=0.001，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}0.9（0.1）^{2}$=0.027，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}0．{9}^{2}•0.1$=0.243，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}0．{9}^{3}$=0.729．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	0.001	0.027	0.243	0.729

Eξ=0×0.001+1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7．
（2）这两人投篮进球的总次数不少于5次的概率：
p=${C}_{3}^{2}0．{9}^{2}•0.1•0．{8}^{3}$+${C}_{3}^{2}0．{8}^{2}•0.2•0．{9}^{3}$+0.8³•0.9³=0.7776．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．