Question

3．记S_n为正项等比数列{a_n}的前n项和，若$\frac{{S}_{12}-{S}_{6}}{{S}_{6}}$-7•$\frac{{S}_{6}-{S}_{3}}{{S}_{3}}$-8=0，且正整数m，n满足a₁a_ma_2n=2${a}_{5}^{3}$，则$\frac{1}{m}$+$\frac{8}{n}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{7}{5}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{9}{5}$
• D． $\frac{15}{7}$

Answer 1

分析 根据已知可得正项等比数列{a_n}的公比为q=2，进而根据等比数列的性质可得m+2n=15，结合基本不等式可得答案．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0，
∵$\frac{{S}_{12}-{S}_{6}}{{S}_{6}}$-7•$\frac{{S}_{6}-{S}_{3}}{{S}_{3}}$-8=0，
∴q⁶-7q³-8=0，
解得：q=2，或q=-1（舍去），
若正整数m，n满足a₁a_ma_2n=2${a}_{5}^{3}$，
则m+2n=15，
则$\frac{1}{m}$+$\frac{8}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{8}{n}$）（$\frac{m+2n}{15}$）=$\frac{17}{15}$+$\frac{2n}{15m}$+$\frac{8m}{15n}$≥$\frac{17}{15}$+2$\sqrt{\frac{2n}{15m}•\frac{8m}{15n}}$=$\frac{5}{3}$，
当且仅当$\frac{2n}{15m}$=$\frac{8m}{15n}$，即m=3，n=6时，取等号，
故$\frac{1}{m}$+$\frac{8}{n}$的最小值是$\frac{5}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是等比数列的性质，基本不等式，是不等式与数列的综合应用，难度中档．