Question

7．下列三个图中的多边形均为正多边形，A（B）是正多边形的顶点，椭圆过A（B）且均以图中的F₁，F₂为焦点，设图①，②，③中的椭圆的离心率分别为e₁，e₂，e₃，则（　　）

• A． e₁＞e₂＞e₃
• B． e₃＞e₁＞e₂
• C． e₁＜e₃＜e₂
• D． e₁＜e₂＜e₃

Answer 1

分析 由已知图形把A（B）的坐标用含有c的代数式表示，把A（B）的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件分别求出离心率后比较得答案．

解答 解：由图①知，a=2c，∴${e}_{1}=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
由图②知，点B（c，2c）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$上，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}=1$，整理得：c⁴-6a²c²+a⁴=0，解得${e}_{2}=\sqrt{2}-1$；
由图③知，B（$\frac{c}{2}，\frac{\sqrt{3}c}{2}$）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$上，
∴$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}=1$，则$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{3{c}^{2}}{4（{a}^{2}-{c}^{2}）}=1$，整理得：${e}_{3}=\sqrt{3}-1$．
∴e₃＞e₁＞e₂．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了正多边形中的边角关系，是中档题．