Question

10．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且右焦点到直线x-y+3$\sqrt{3}$=0的距离为2$\sqrt{6}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+$\sqrt{3}$（k＞0）与椭圆C相交于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得b=1，设出右焦点，运用点到直线的距离公式，解方程可得c，进而得到a=2，可得椭圆方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出|PQ|，求出原点到直线l的距离，表示出三角形的面积，进而利用基本不等式，即可求得△OPQ面积的最大值．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得b=1，即有a²-c²=1，
又右焦点F（c，0）到直线x-y+3$\sqrt{3}$=0的距离为2$\sqrt{6}$，
即有$\frac{|c+3\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{6}$，解得c=$\sqrt{3}$，
即有a=2，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1：
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，整理得（1+4k²）x²+8$\sqrt{3}$kx+8=0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{8\sqrt{3}k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$，
△=（8$\sqrt{3}$k）²-32（1+4k²），即：2k²-1＞0．
又原点到直线l的距离为d=$\frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64×3{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{32}{1+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{64{k}^{2}-32}}{1+4{k}^{2}}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|PQ|d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{64{k}^{2}-32}}{1+4{k}^{2}}$•$\frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-2}}{1+4{k}^{2}}$，
令t=$\sqrt{4{k}^{2}-2}$，（t＞0），可得4k²=t²+2，
即有$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{t}{3+{t}^{2}}$=$\frac{1}{t+\frac{3}{t}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{t•\frac{3}{t}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，
当且仅当t=$\sqrt{3}$，即k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，面积取得最大值，且为1．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查点到直线的距离公式的运用，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．