Question

6．如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），椭圆的长轴长为8，离心率为$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
（1）求椭圆方程；
（2）椭圆内接四边形ABCD的对角线交于原点，且（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{DC}$$-\overrightarrow{BC}$）=0，求四边形ABCD周长的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=4，运用离心率公式可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（2）由题意的对称性可得四边形ABCD为平行四边形，运用向量的数量积的性质，可得$\overrightarrow{AB}$²=$\overrightarrow{AD}$²，即有四边形ABCD为菱形，即有AC⊥BD，讨论直线AC的斜率为0，可得最大值；不为0，设出直线AC的方程为y=kx，（k＞0），则BD的方程为y=-$\frac{1}{k}$x，代入椭圆方程，求得A，D的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，由二次函数的最值求法，可得最小值．

解答 解：（1）由题意可得2a=8，即a=4，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，可得c=$\sqrt{7}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=3，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）由题意的对称性可得四边形ABCD为平行四边形，
由（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{DC}$$-\overrightarrow{BC}$）=0，可得（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AD}$）•$\overrightarrow{DB}$=0，
即（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）=0，
可得$\overrightarrow{AB}$²=$\overrightarrow{AD}$²，即有四边形ABCD为菱形，
即有AC⊥BD，
设直线AC的方程为y=kx，（k＞0），则BD的方程为y=-$\frac{1}{k}$x，
代入椭圆方程可得x=±$\sqrt{\frac{144}{9+16{k}^{2}}}$，
可设A（$\sqrt{\frac{144}{9+16{k}^{2}}}$，k$\sqrt{\frac{144}{9+16{k}^{2}}}$），
同理可得D（$\sqrt{\frac{144{k}^{2}}{16+9{k}^{2}}}$，-$\frac{12}{\sqrt{16+9{k}^{2}}}$），
即有|AD|²=（$\frac{12}{\sqrt{9+16{k}^{2}}}$-$\frac{12k}{\sqrt{16+9{k}^{2}}}$）²+（$\frac{12k}{\sqrt{9+16{k}^{2}}}$+$\frac{12}{\sqrt{16+9{k}^{2}}}$）²
=$\frac{144（1+{k}^{2}）^{2}}{（9+16{k}^{2}）（16+9{k}^{2}）}$，
令1+k²=t（t＞1），
即有|AD|²=25•$\frac{144{t}^{2}}{（16t-7）（7+9t）}$=25•$\frac{144}{144+\frac{49}{t}-\frac{49}{{t}^{2}}}$，
由144+$\frac{49}{t}$-$\frac{49}{{t}^{2}}$=-49（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{625}{4}$，
即有t=2，即k=±1时，|AD|取得最小值，且为$\frac{24}{5}$；
又当AC的斜率为0时，BD为短轴，即有ABCD的周长取得最大值，且为20．
综上可得四边形ABCD的周长的最小值为$\frac{96}{5}$，最大值为20．

点评 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程求交点、数量积的运算性质、二次函数的最值求法等是解题的关键．