Question

19．已知等差数列{a_n}满足a₉＜0，且a₈＞|a₉|，数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），{b_n}的前n项和为S_n，当S_n取得最大值时，n的值为6．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由满足a₉＜0，且a₈＞|a₉|，可得d＜0，a₈＞-a₉＞0，因此当n≤8时，a_n＞0；当n≥9时，a_n＜0．S_n=a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+…+a₆a₇a₈+a₇a₈a₉+a₈a₉a₁₀+a₉a₁₀a₁₁+…+a_na_n+1a_n+2，当n≤6时，S_n的每一项都大于0，当n≥9时，a_na_n+1a_n+2＜0，只要计算a₇a₈a₉+a₈a₉a₁₀与0的关系即可得出．

解答 解：∵设等差数列{a_n}的公差为d，∵满足a₉＜0，且a₈＞|a₉|，
∴d＜0，a₈+a₉＞0，a₈＞-a₉＞0，
∴当n≤8时，a_n＞0；当n≥9时，a_n＜0．
S_n=a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+…+a₆a₇a₈+a₇a₈a₉+a₈a₉a₁₀+a₉a₁₀a₁₁+…+a_na_n+1a_n+2，
当n≤6时，S_n的每一项都大于0，当n≥9时，a_na_n+1a_n+2＜0，
而a₇a₈a₉＜0，a₈a₉a₁₀＞0，
并且a₇a₈a₉+a₈a₉a₁₀=a₈a₉（a₇+a₁₀）=a₈a₉（a₈+a₉）＜0，
因此当S_n取得最大值时，n=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了数列的单调性、递推关系、求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．