Question

10．已知直线y=x+m被椭圆2x²+y²=2截得线段的中点的横坐标为$\frac{1}{6}$．则中点的纵坐标为-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可知x₁+x₂=-$\frac{2m}{3}$，通过截得线段的中点的横坐标为$\frac{1}{6}$可知m=-$\frac{1}{2}$、x₁+x₂=$\frac{1}{3}$，代入直线方程计算即得结论．

解答 解：联立直线与椭圆方程，消去y整理得：
3x²+2mx+m²-2=0，
则：x₁+x₂=-$\frac{2m}{3}$，
又∵截得线段的中点的横坐标为$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{6}$，即-$\frac{m}{3}$=$\frac{1}{6}$，
∴m=-$\frac{1}{2}$，x₁+x₂=$\frac{1}{3}$，
∴中点的纵坐标为$\frac{（{x}_{1}+m）+（{x}_{2}+m）}{2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+m=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{3}$，
故答案为：-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．