Question

15．设函数f（x）=m•2^x+2-4^x．若存在实数x₀∈[-1，1]，使得f（-x₀）+f（x₀）=1成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{3}{16}，\frac{21}{80}$]
• B． [$\frac{3}{8}，\frac{21}{40}$]
• C． [$\frac{3}{4}，\frac{21}{20}$]
• D． [$\frac{3}{2}，\frac{21}{10}$]

Answer 1

分析 根据f（-x₀）+f（x₀）=1，代入函数值整理成${{（2}^{{-x}_{0}}{+2}^{{x}_{0}}）}^{2}$-4m（${2}^{{-x}_{0}}$+${2}^{{x}_{0}}$）-1=0，设${2}^{{-x}_{0}}$+${2}^{{x}_{0}}$=t，$\frac{5}{2}$≥t≥2，得出t²-4mt-1=0；分离参数m，利用函数的单调性求出m的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=m•2^x+2-4^x，且存在实数x₀∈[-1，1]，使f（-x₀）+f（x₀）=1，
∴4m•${2}^{{-x}_{0}}$-${4}^{{-x}_{0}}$+4m•${2}^{{x}_{0}}$-${4}^{{x}_{0}}$=1；
整理成${{（2}^{{-x}_{0}}{+2}^{{x}_{0}}）}^{2}$-4m（${2}^{{-x}_{0}}$+${2}^{{x}_{0}}$）-1=0，
设${2}^{{-x}_{0}}$+${2}^{{x}_{0}}$=t，其中$\frac{5}{2}$≥t≥2；
∴t²-4mt-1=0；
分离参数m=$\frac{1}{4}$（t-$\frac{1}{t}$），根据单调性的定义知该函数在[2，$\frac{5}{2}$]上是增函数；
∴m≥$\frac{1}{4}$×（2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{8}$，
且m≤$\frac{1}{4}$×（$\frac{5}{2}$-$\frac{2}{5}$）=$\frac{21}{40}$；
∴实数m的取值范围是[$\frac{3}{8}$，$\frac{21}{40}$]．
故选：B．

点评 本题考查完了全平方式、换元法以及基本不等式的应用问题，也考查了函数的单调性问题，是综合性题目．