Question

【题目】已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．

给出下列四个结论：

①f（0）＝0； ②f（x）为偶函数；

③f（x）为R上减函数； ④f（x）为R上增函数．

其中正确的结论是（　　）

A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据题意，令y＝x＝0计算f（0）的值，判断①正确；

令y＝﹣x，得出f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）是奇函数，判断②错误；

根据x＞0，f（x）＜0，x＝0时f（x）＝0，x＜0时，f（x）＞0，

判断f（x）为R上的减函数，③正确，④错误．

对于①，令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，①正确；

对于②，令y＝﹣x，则f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）是奇函数，②错误；

对于③，当x＞0，f（x）＜0，

令＜，f（）﹣f（）＝f（﹣）＜0，∴f（）＜f（），

∴f（x）为R上的减函数，③正确；

对于④，f（x）为R上增函数，④错误．

综上，其中正确的结论是①③．

故选：A．