Question

【题目】已知函数， ，其中…是然对数底数．

（1）若函数有两个不同的极值点， ，求实数的取值范围；

（2）当时，求使不等式在一切实数上恒成立的最大正整数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）14

【解析】试题分析：（1）函数有两个不同的极值点， 得， 有两个不同的根，对分类讨论：当时，可得在上递减，不合题意， ，函数在上递减，在上递增，只需，解出即可得出结果；（2）当时，由题意可得：不等式对题意恒成立，令，令得，利用单调性可得，整理得，再研究其单调性即可得出.

试题解析：（1）f′（x）=λex﹣2x，据题意得f′（x）=λex﹣2x=0有两个不同的根x1，x2，当λ≤0时，f′（x）=λex﹣2x≤0，因此f（x）在R上递减，不合题意，∴λ＞0，又f″（x）=λex﹣2，令f″（x）=0，解得，∴函数f′（x）=λex﹣2x在上递减，在上递增，∴f′（x）=λex﹣2x=0有两个不同的根，则，即，，解得．

（2）当λ=1时，求使不等式f（x）＞g（x）在一切实数上恒成立，即不等式对任意x恒成立，令，∴，令h′（x）=0得，∴函数h（x）在上递减，在上递增，∴，整理得．令，易得（μ）在（2，+∞）上递减，若μ=2e2∈（14，15），（2e2）=15﹣2e2＞0，若μ=15，，所以满足条件的最大整数μ=14．