Question

（（本小题满分12分）
已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．
（1）求证：EF平面PAD；
（2）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；

Answer 1

解：方法1：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，

∴平面PAD，                                           ）
∵E、F为PA、PB的中点，
∴EF//AB，∴EF平面PAD；                                  …………4分
（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，
∵，则PO 平面ABCD．
取AO中点M，连OG，,EO,EM,
∵EF //AB//OG,
∴OG即为面EFG与面ABCD的交线
又EM//OP,则EM平面ABCD．且OGAO,
故OGEO ∴ 即为所求      …………8分
 ，EM＝ＯＭ＝１ 
∴tan＝故 ＝              
∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是  …………12分
方法2：（I）证明：过P作P O　AD于O，∵，
则PO 平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，      　　　　　　　 …………2分
∵PA＝PD　，∴，
得，
， 　　　　 …………（4分）
故，
∵，
∴EF　平面PAD；                        …………4分
（II）解：，
设平面EFG的一个法向量为 
则， ，   …………8分
平面ABCD的一个法向量为……（12分）
平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：
，锐二面角的大小是；             …………12分

解析