Question

19．已知函数f（x）=|e^x-1|+1，若f（a）=f（b），且a＜b，则实数a+2b的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，ln$\frac{4}{3}$）
• C． （-∞，ln3]
• D． （-∞，ln$\frac{32}{37}$]

Answer 1

分析 先画出函数f（x）的图象，由f（a）=f（b）得：2-e^a=e^b，根据e^a+2b=e^a•e^2b=（2-e^b）•e^2b，设e^b=t，则e^a+2b=（2-t）t²，（1＜t＜e），构造新函数，通过求导得到函数的单调性，从而求出a+2b的范围．

解答 解：x≥0时，e^x-1≥0，
∴f（x）=e^x-1+1=e^x，
当e^x≤0时，e^x-1≤0，
∴f（x）=1-e^x+1=2-e^x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{2{-e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
画出函数f（x）的图象，如图示：
，
若a＜b，则a＜0，0＜b＜ln2，
由f（a）=f（b）得：2-e^a=e^b，
e^a+2b=e^a•e^2b=（2-e^b）•e^2b，
设e^b=t，
∵0＜b＜ln2，∴1＜t＜e，
则e^a+2b=（2-t）t²，（1＜t＜e），
令f（t）=（2-t）t²=-t³+2t²，
∴f′（t）=-3t²+4t=t（-3t+4），
令f′（t）＞0，解得：1＜t＜$\frac{4}{3}$，
令f′（t）＜0，解得：$\frac{4}{3}$＜t＜e，
∴f（t）_max=f（$\frac{4}{3}$）=$\frac{32}{27}$，
∴e^a+2b＜$\frac{32}{27}$，
∴a+2b＜ln$\frac{32}{27}$，
a→-∞时，a+2b→-∞，
故选：D．

点评 本题考查了分段函数问题，考查转化思想，导数的应用，根据e^a+2b=e^a•e^2b=（2-e^b）•e^2b，设e^b=t，则e^a+2b=（2-t）t²，构造新函数是解题的关键．