Question

7．已知0＜a＜2，l₁：ax-2y=2a-4，l₂：2x+a²y=2a²+4，求l₁，l₂与坐标轴围成的四边形面积的最小值．

Answer 1

分析 如图所示，联立$\left\{\begin{array}{l}{ax-2y=2a-4}\\{2x+{a}^{2}y=2{a}^{2}+4}\end{array}\right.$，解得y_E=2．根据S_{四边形OCEA}=S_△BCE-S_△OAB即可得出．

解答 解：∵0＜a＜2，
可得l₁：ax-2y=2a-4，与坐标轴的交点A（0，-a+2），B（2-$\frac{4}{a}$，0）．
l₂：2x+a²y=2a²+4，与坐标轴的交点C（a²+2，0），D$（0，2+\frac{4}{{a}^{2}}）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ax-2y=2a-4}\\{2x+{a}^{2}y=2{a}^{2}+4}\end{array}\right.$，解得y_E=2．
∴S_{四边形OCEA}=S_△BCE-S_△OAB
=$\frac{1}{2}|BC|•{y}_{E}$-$\frac{1}{2}|OA|•|OB|$
=${a}^{2}+\frac{4}{a}$-$\frac{1}{2}×（2-a）×（\frac{4}{a}-2）$
=a²-a+4
=$（a-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{15}{4}$$≥\frac{15}{4}$，当a=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴l₁，l₂与坐标轴围成的四边形面积的最小值为$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．