Question

【题目】在平面直角坐标系中，圆的圆心为．已知点，且为圆上的动点，线段的中垂线交于点．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，若四边形的四个顶点都在曲线上，对角线，互相垂直并且它们的交点恰为点，求四边形面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）； （2）[，2]．

【解析】

（1）根据条件可以判断出，则点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，

（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系表示出，，再表示出即可．

解：（1）因为为线段中垂线上一点，所以，

因为，，所以，

则点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，所以轨迹方程为；

（2）因为对角线，互相垂直，所以，中至少有一条斜率存在，

不妨设的斜率为，

当时，，，此时，

当时，过点，故的方程为，

将此式代入得，

设，，，，则，，

从而，

当时，的斜率为，同上可得，

故四边形的，

令，当且仅当时，，

此时，显然是以为自变量的增函数，

所以，

综上所述，四边形面积的取值范围是．