Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）设，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若曲线与在公共点处有相同的切线，求点的横坐标；

（Ⅲ）设，且曲线与总存在公切线，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数的单调增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）时，求函数的导函数，解不等式，得到函数的单调区间；

（Ⅱ）设公共点的坐标，可得，即，

分别求出过的两条切线方程，由题意可知，这两条切线重合，可得有且，即，把代入，得，设，求导，根据单调性可知：函数在上有唯一的零点，所以，即点的横坐标为；

（Ⅲ）分别求出两个曲线的切线方程，根据斜率相等和在纵轴的截距相等，得到方程组，通过消元法，得到一个方程，只要方程有正实数解即可，参变量分离，构造新函数，利用导数，求出新函数的最小值，最后求出的最小值.

（Ⅰ）时，，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数的单调增区间为，单调递减区间为；

（Ⅱ）设公共点为，，所以，即，

曲线在公共点处的切线的斜率为：，切线方程为：，

曲线在公共点处的切线的斜率为：，切线方程为：

，曲线与在公共点处有相同的切线，所以有且，即，把代入，得，设，，函数在上单调递增，而，所以函数在上有唯一的零点，所以，即点的横坐标为；

（Ⅲ）设曲线的切点为，，则切线的斜率为，所以曲线的切线方程为：，设曲线的切点为，，则曲线的切线的斜率为所以曲线的切线方程为；，

由题意可知：有正实数解，

由于，所以，所以，，设，，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数有最小值，最小值为，要使方程有正实数解，只需，所以的最小值为.