设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*.
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有.
(1)a2=4.(2)an=n2,n∈N*(3)见解析
【解析】(1)【解析】
∵=an+1-n2-n-,n∈N?.
∴当n=1时,2a1=2S1=a2--1-=a2-2.
又a1=1,∴a2=4.
(2)【解析】
∵=an+1-n2-n-,n∈N?.
∴2Sn=nan+1-n3-n2-n=nan+1-,①
∴当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-,②
由①-②,得2Sn-2Sn-1=nan+1-(n-1)an-n(n+1),
∵2an=2Sn-2Sn-1,∴2an=nan+1-(n-1)an-n(n+1),∴=1,
∴数列是以首项为=1,公差为1的等差数列.
∴=1+1×(n-1)=n,∴an=n2(n≥2),
当n=1时,上式显然成立. ∴an=n2,n∈N*.
(3)证明:由(2)知,an=n2,n∈N*,
①当n=1时,=1<,∴原不等式成立.
②当n=2时,=1+<,∴原不等式成立.
③当n≥3时,∵n2>(n-1)·(n+1),
∴, ∴=
<1+
=1+
=1+
=1+=,
∴当n≥3时,∴原不等式亦成立.
综上,对一切正整数n,有.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第4课时练习卷(解析版) 题型:解答题
如图,在三棱锥SABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,过A作AF⊥SB,垂足为F,点E、G分别是棱SA、
SC的中点.求证:
(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第2课时练习卷(解析版) 题型:填空题
在梯形ABCD中,AB∥CD,AB平面α,CD平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系可能是________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第1课时练习卷(解析版) 题型:填空题
已知点P、Q,平面α,将命题“P∈α,QαPQα”改成文字叙述是________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第6课时练习卷(解析版) 题型:填空题
若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和Sn=________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第6课时练习卷(解析版) 题型:填空题
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a100·+a101,且A、B、C三点共线(该直线不过点O),则S200=________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第5课时练习卷(解析版) 题型:解答题
设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的公比;
(2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第4课时练习卷(解析版) 题型:填空题
一个等差数列前4项之和为26,最末4项之和为110,所有项之和为187,则它的项数为________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第2课时练习卷(解析版) 题型:填空题
(1)等差数列{an}中,Sn是{an}前n项和,已知S6=2,S9=5,则S15=________;
(2)给定81个数排成如图所示的数表,若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列,且表中正中间一个数a55=5,则表中所有数之和为________.
a11 | a12 | … | a19 |
a21 | a22 | … | a29 |
… | … | … | … |
a91 | a92 | … | a99 |
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