Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如果底边正方形ABCD的边长为AB=2，侧棱AA1=

2

，则下列四个命题：
①AA₁与BC₁成45°角；
②AA₁与BC₁的距离为2；
③二面角C₁-AB-C为arctan

2

2

；
④B₁D⊥平面D₁AC．
则正确命题的序号为

②③

．

Answer 1

分析：①由题意可得：BC₁∥AD₁，所以AA₁与BC₁成的角等于AA₁与AD₁成的角．再根据AB=2，侧棱AA1=

2

，可得AA₁与BC₁成不等于45°角．
②由题意可得：线段AB是AA₁与BC₁的公垂线，可得AA₁与BC₁的距离为线段AB的长度．
③连接BC₁，根据题意与二面角平面角的定义可得∠C₁BC是二面角C₁-AB-C的平面角，再利用解三角形的有关知识求出答案．
④连接AD₁，A₁D，由题中条件可得：AD₁与A₁D不垂直，进而得到B₁D与AD₁不垂直，可得B₁D与平面D₁AC不垂直．

解答：解：①由题意可得：ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，所以BC₁∥AD₁，所以AA₁与BC₁成的角等于AA₁与AD₁成的角．
又因为正方形ABCD的边长为AB=2，侧棱AA1=

2

，
所以AA₁与BC₁成不等于45°角，所以①错误．
②由正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的结构特征可得：线段AB是AA₁与BC₁的公垂线，所以AA₁与BC₁的距离为线段AB的长度，所以AA₁与BC₁的距离为2，所以②正确．
③连接BC₁，由正四棱柱的结构特征可得AB⊥BC₁，AB⊥BC，所以根据二面角平面角的定义可得∠C₁BC是二面角C₁-AB-C的平面角．
因为正方形ABCD的边长为AB=2，侧棱AA1=

2

，
所以tan∠C₁BC=

CC1

BC

=

2

2

，所以二面角C₁-AB-C为arctan

2

2

，所以③正确．
④连接AD₁，A₁D，因为正方形ABCD的边长为AB=2，侧棱AA1=

2

，所以AD₁与A₁D不垂直，所以根据三垂线定理可得B₁D与AD₁不垂直，所以B₁D与平面D₁AC不垂直，所以④错误．
故答案为：②③

点评：此题主要考查线面垂直的判断定理与异面直线的距离，以及考查线线角与二面角的有关知识，解决异面直线的距离问题的关键是找出两条异面直线的公垂线，而解决空间角的关键是找出空间角，其步骤是：作角，证角，求角，此题综合性较强考查的问题很基础，属于中档题．