Question

5．求经过直线l₁：3x+2y-1=0和l₂：5x+2y+1=0的交点，
（1）且平行于直线l₃：3x-5y+6=0的直线l的方程；
（2）且在x轴，y轴上的截距相等的直线l的方程；
（3）且直线l与x轴负半轴，y轴正半轴所围成的三角形面积最小时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出交点为（-1，2），设所求的直线的方程为3x-5y+c=0，再把点（-1，2）代入，求得c的值，可得所求的直线的方程．
（2）设所求的直线的方程为y=kx 或x+y=a，再把点（-1，2）代入，求得k和a的值，可得所求的直线的方程．
（3）设所求的直线的方程为y-2=k（x+1），求得它与坐标轴的交点为（-1-$\frac{2}{k}$，0）、（0，k+2），k＞0．再根据所围成的三角形面积为$\frac{1}{2}$（1+$\frac{2}{k}$）•（k+2）=$\frac{1}{2}$（4+k+$\frac{4}{k}$），利用基本不等式求得面积最小时直线l的方程．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y-1=0}\\{5x+2y+1=0}\end{array}\right.$ 求得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，故直线l₁：3x+2y-1=0和l₂：5x+2y+1=0的交点为（-1，2）．
设所求的直线的方程为3x-5y+c=0，再把点（-1，2）代入，求得c=-13，故所求的直线的方程为3x-5y+13=0．
（2）设所求的直线的方程为y=kx 或x+y=a，
若所求的直线的方程为y=kx，把点（-1，2）代入，求得k=-2，所求的直线的方程为y=-2x．
若所求的直线的方程为x+y=a，把点（-1，2）代入，求得a=1，故所求的直线的方程为x+y=1．
综上可得，所求的直线的方程为2x+y=0或 x+y-1=0．
（3）设所求的直线的方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，则它与坐标轴的交点为（-1-$\frac{2}{k}$，0）、（0，k+2），k＞0．
则它与x轴负半轴，y轴正半轴所围成的三角形面积为$\frac{1}{2}$（1+$\frac{2}{k}$）•（k+2）=$\frac{1}{2}$（4+k+$\frac{4}{k}$）≥$\frac{1}{2}$（4+4）=4，
当且仅当k=$\frac{4}{k}$，即k=2时取等号，故三角形面积最小时直线l的方程为2x-y+4=0．

点评 本题主要考查求两条曲线的交点坐标，用待定系数法求直线的方程，属于中档题．