Question

已知数列{a_n}是等差数列,数列{b_n}是等比数列,且对任意的,都有.
（1）若{b_n }的首项为4,公比为2,求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n;
（2）若 ，试探究:数列{b_n}中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由．

Answer 1

（1）  ；（2）不存在.

试题分析：对任意的,都有.
所以( )两式相减可求  
（1）由于等比数{b_n }的首项为4,公比为2,可知 ,于是可求得 ,
再将数列{a_n+b_n}的前n项和拆分为等差数列{a_n}的前项和与等比数列的前 项和之和.
（2）由,    假设存在一项 ,可表示为 
一方面, ,另一方面,
 
两者相矛盾K值不存在.
试题解析：
解:（1）因为,所以当时,
,
两式相减,得,
而当n=1时,,适合上式,从而,3分
又因为{b_n}是首项为4,公比为2的等比数列,即,所以，4分
从而数列{a_n+b_n}的前项和；6分
（2）因为，,所以，. 8分
假设数列{b_n}中第k项可以表示为该数列中其它项的和,即,从而,易知 ,(*) 9分
又,
所以,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在． 12分 项和公式；2、拆项求和.