Question

已知函数f(x)=x+

a2

x

-3，g(x)=x+lnx，其中a＞0，F(x)=f(x)+g(x)．
（1）若x=

1

2

是函数，y=F（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若函数y=F（x）（x∈（0，3]）的图象上任意一点处切线的斜率k≤

5

2

恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数y=f（x）在[1，2]上有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出F(x)=2x+

a2

x

+lnx-3及其导数F′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

（1）x=

1

2

是函数，y=F（x）的极值点，故F′(

1

2

)=0由此方程求a即可
（2）函数y=F（x）（x∈（0，3]）的图象上任意一点处切线的斜率k≤

5

2

恒成立，由导数的几何意义知，此条件可以转化为导函数在x∈（0，3]的最大值小于等于

5

2

，
（3）可将函数在[1，2]上有两个零点的问题转化为相应的方程有两个根，分离出参数a，得到a²=-x²+3x在x∈[1，2]上有两个不等实根，由二次函数的性质求得-x²+3x在x∈[1，2]上的值域，根据函数的图象即可得到参数a所满足的条件2≤a2＜

9

4

，a＞0，解之即得所求的实数a的取值范围

解答：解：F(x)=2x+

a2

x

+lnx-3，F′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

（2分）
（1）F′(

1

2

)=4-4a2=0且a＞0，∴a=1（4分）
（2）F′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

≤

5

2

对任意的x∈（0，3]恒成立（5分）
∴2a²≥-x²+2x对任意的x∈（0，3]恒成立，
∴2a²≥（-x²+2x）_max，而当x=1时，-x²+2x=-（x-1）²+1取最大值为1，
∴2a²≥1，且a＞0，∴a≥

2

2

（8分）
（3）因为函数f(x)=x+

a2

x

-3在[1，2]上有两个零点，
所以方程a²=-x²+3x在x∈[1，2]上有两个不等实根（a＞0）（10分）
又因为函数y=-x2+3x=-(x-

3

2

)2+

9

4

在x∈[1，2]内的值域为[2，

9

4

]（12分）
由函数图象可得：2≤a2＜

9

4

，a＞0，所以：

2

≤a＜

3

2

，
即实数a的取值范围是[

2

，

3

2

)（14分）

点评：本题考点是利用导数研究函数的极值，考查了求导的运算，极值存在的条件，导数的几何意义，以及函数的零点与相应方程的根的关系，二次函数的图象与性质等知识，本题综合性强，转化灵活，能答题者观察转化的能力要求较高．