Question

已知函数f（x）=log₃（ax+b）图象过点A（2，1）和B（5，2），设a_n=3^f（n），n∈N^*．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥a

2n+1

对一切n∈N*均成立的最大实数a；
（Ⅲ）对每一个k∈N^*，在a_k与a_k+1之间插入2^k-1个2，得到新数列：a₁，2，a₂，2，2，a₃，2，2，2，2，a₄，…，记为{b_n}，设T_n是数列{b_n}的前n项和，试问是否存在正整数m，使T_m=2008？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接把点A（2，1）和B（5，2）的坐标代入函数方程求出a，b的值，即可求函数f（x）的解析式及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先把问题转化为a≤

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)对n∈N^*均成立，再记F(n)=

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)，相邻两相作商得到其单调行，进而求出其最小值即可得到最大实数a；
（Ⅲ）先根据条件求出a_m及其前面所有项之和的表达式，再根据10²+2¹⁰-2=1122＜2008＜11²+2¹¹-2=2167，即a₁₀＜2008＜a₁₁，即可找到满足条件的m的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知，得

log   (2a+b) 3 =1 log   (5a+b) 3 =2

解得：

a=2 b=-1

．
∴f(x)=log3(2x-1)， (x＞

1

2

)…（2分）
∴an=3log3(2n-1)=2n-1．n∈N^*
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1…（4分）
（Ⅱ）由题意a≤

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)对n∈N^*均成立…（5分）
记F(n)=

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)
则

F(n+1)

F(n)

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

2(n+1)

4(n+1)2-1

＞

2(n+1)

2(n+1)

=1
∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n）
∴F（n）随着n的增大而增大…（7分）
而F（n）的最小值为F(1)=

2 3

3

∴a≤

2 3

3

，即a的最大值为

2 3

3

…（8分）
（Ⅲ）∵a_n=2n-1
∴在数列{b_n}中，a_m及其前面所有项之和为[1+3+5+…+（2m-1）]+（2+2²+…+2^m-1）=m²+2^m-2…（10分）
∵10²+2¹⁰-2=1122＜2008＜11²+2¹¹-2=2167
即a₁₀＜2008＜a₁₁…（11分）
又a₁₀在数列{b_n}中的项数为：10+1+2+…+2⁸=521…（12分）
且2008-1122=886=443×2
所以存在正整数m=521+443=964，使得S_m=2008…（14分）

点评：本题综合考查了数列与函数的知识．解决第三问的关键在于求出a_m及其前面所有项之和的表达式，并通过计算得到10²+2¹⁰-2=1122＜2008＜11²+2¹¹-2=2167，即a₁₀＜2008＜a₁₁从而使问题得到解决．