Question

已知命题p：f（x）=x²-4mx+4m²+2在区间[-1，3]上的最小值等于2；命题q：{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²≥1}．如果“命题p且q为假命题”，“命题p或q为真命题”试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：利用一元二次函数在区间[-1，3]上的最小值等于2，分类讨论求得m的取值范围；根据集合之间的包含关系求出命题q为真时m的范围，由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假，分p真q假和q真p假两种情况求出m的范围，再求并集．

解答：解：若命题P为真，由f（x）=（x-2m）²+2，对称轴x=2m
当2m≤1即m≤-

1

2

时，f（x）在[-1，3]上为增函数f（x）_min=f（-1）=4m²+4m+3=2即4m²+4m+1=0?m=-

1

2

；
当-1＜2m≤3即-

1

2

＜m≤

3

2

时f（x）_min=f（2m）=2符合
当2m＞3即m＞

3

2

时，f（x）在[-1，3]上为减函数f（x）_min=f（3）=4m²-12m+11=2即（2m-3）²=0⇒m=

3

2

不符合
综上可知，若P为真，则-

1

2

≤m≤

3

2

．
由：{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²≥1}，得m＞2m+1或1≤m≤2m+1或m≤2m+1≤-1，
解得m≥1或m≤-1．
由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假，
当p真q假时，则

- 1 2 ≤m≤ 3 2 -1＜m＜1

⇒-

1

2

≤m＜1；
当q真p假时，则

m＞ 3 2 或m＜- 1 2 m≥1或m≤-1

⇒m＞

3

2

或m≤-1，
综上实数m的取值范围是（-∞，-1]∪[-

1

2

，1）（

3

2

，+∞）．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了一元二次函数的最值讨论及集合的包含关系，解题的关键是求出组成复合命题的简单命题为真时m的范围．