Question

已知平面区域

x≥0 y≥0 x+2y-4≤0

恰好被面积最小的圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²及其内部所覆盖，设该圆的圆心为点C．
（1）试求圆C的方程．
（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B，且CA⊥CB，求直线l的方程．
（3）求直线y=k（x-9）与圆C在第一象限部分的公共点的个数．

Answer 1

分析：（1）根据平面区域与最小圆的位置关系得知，确定圆的位置，从而得到圆的方程；
（2）设所求的直线方程一般形式，根据CA⊥CB，得知△ABC为等腰Rt△，即可求点C
到AB的距离，然后用点到直线的距离公式，求出参数，从而求出直线方程．

解答：解：（1）依题意可知，设直线x+2y-4=0分别在x轴、y轴上的交点为M、N，则M（4，0），N（0，2），
最小圆就是以MN为直径的圆，∴（x-2）²+（y-1）²=5；
（2）设直线l的方程为：x-y+t=0．则C（2，1）
∵CA⊥CB，∴△ABC为等腰Rt△，即知点C到AB的距离为

5

2

则由点到直线的距离公式得

|2-1+t|

2

=

5

2

，
解得t=±

5

-1，
所以直线方程为x-y+

5

-1=0 或x-y-

5

-1=0．
（3）由已知，k＜0．
若直线与圆相切，则点到直线的距离公式得

|2•k-1-9k|

k2+1

=

5

解得k=-

1

2

．
又由圆与y轴正半轴交点A（0，2），
∴直线过定点B（9，0），kAB=-

2

9

．
所以，k∈[-

2

9

，0)∪{-

1

2

} 时有1个公共点，k∈(-

1

2

，-

2

9

) 时有2个公共点．

点评：此题考查平面区域、点到直线的距离公式及直线和圆的位置关系．