【题目】设函数,其图象在点处切线的斜率为-3.
(1)求与关系式;
(2)求函数的单调区间(用只含有的式子表示);
(3)当时,令,设是函数的两个零点, 是与的等差中项,求证: (为函数的导函数).
【答案】(1)(2)见解析(3)见解析
【解析】试题分析:(1)由导数的几何意义得,即可得解;
(2)由(1)知, ,讨论, 和时导数的正负,从而得函数的单调性;
(3)根据条件得,两式作差得,从而得, ,构造函数求最值即可证得.
试题解析:
(1)函数的定义域为,
,由得, .
(2)由(1)知, ,
①当时, 在上单调递减;
②当时,令,得,
在上单调递减,在上单调递增;
③当时,若时, 在上单调递减;
若时, 在上单调递增,在上单调递减;
综上,当时, 的单调减区间为,单调增区间为,
当时, 的单调减区间为,
当时, 的单调增区间为,单调减区间为.
(3)当时, ,则, ,
∵与是函数的两个零点,∴,
两式相减得, ,
∵,∴ ,
∵,∴ ,
∴ ,
令,∵,∴ , ,
,
∴在单调递减,∴, ,∴ .
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,岛、相距海里.上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛 海里的处,沿直线方向匀速开往岛,在岛停留分钟后前往市.上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛 海里的处,此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市.
(Ⅰ)若,问小张能否乘上这班客轮?
(Ⅱ)现测得, .已知速度为海里/小时()的小艇每小时的总费用为()元,若小张由岛直接乘小艇去市,则至少需要多少费用?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.己知圆的圆心的坐标为半径为,直线的参数方程为为参数)
(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;直线的普通方程;
(Ⅱ)若圆C和直线相交于A,B两点,求线段AB的长.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆的左顶点坐标为,离心率为.
求椭圆E的方程;
过点作直线l交E于P、Q两点,试问:在x轴上是否存在一个定点M,使为定值?若存在,求出这个定点M的坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(, 为参数).以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)当时,求曲线上的点到直线的距离的最大值;
(2)若曲线上的所有点都在直线的下方,求实数的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”,遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析,得到下表(单位:人):
(Ⅰ)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关?(Ⅱ)现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.
(1)分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数;
(2)从这5人中,再随机选出2人赠送一件礼品,求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
参考公式: ,其中.
参考数据:
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下面有五个命题:
①函数的最小正周期是;
②终边在y轴上的角的集合是;
③在同一坐标系中,函数的图象和函数的图象有一个公共点;
④把函数;
⑤在中,若,则是等腰三角形;
其中真命题的序号是( )
A.(1)(2)(3) B.(2)(3)(4)
C.(3)(4)(5) D.(1)(4)(5)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米,栽种n年后的高度记为f(n).经研究发现f(n)近似地满足 f(n)=,其中,a,b为常数,n∈N,f(0)=A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍.
(1)栽种多少年后,该树木的高度是栽种时高度的8倍;
(2)该树木在栽种后哪一年的增长高度最大.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com