Question

【题目】关于函数有下述四个结论：

①函数的图象把圆的面积两等分

②是周期为的函数

③函数在区间上有3个零点

④函数在区间上单调递减

其中所有正确结论的编号是（ ）

A.①③④B.②④C.①④D.①③

Answer 1

【答案】C

【解析】

先利用诱导公式和二倍角公式将函数化简为f（x）＝sinx﹣x，因为单位圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以可以先证明函数的奇偶性，进而即可判断①，利用函数的周期性可判断②，利用导数判断函数单调递减，从而可以判断③④．

解：f（x）＝2sinsin（+）﹣x＝2sincos﹣x＝sinx﹣x，

对于①，因为f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣sinx+x＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，关于原点对称，且过圆心，而圆x2+y2＝1也是关于原点对称，所以①正确；

对于②，因为f（x+π）＝sin（x+π）﹣（x+π）＝﹣sinx﹣x﹣π≠f（x），所以f（x）的周期不是π，即②错误；

对于③，因为＝cosx﹣1≤0，所以f（x）单调递减，所以f（x）在区间（﹣∞，+∞）上至多有1个零点，

即③错误；

对于④，＝cosx﹣1≤0，所以f（x）单调递减，即④正确．

故选：C．