Question

解关于x的不等式：log₂（x-1）＞log₄[a（x-2）+1]（a＞1）．

Answer 1

分析：原不等式等价于log₄ （x-1）²＞log₄[a（x-2）+1]（a＞1），由此可得

x-1＞0 a(x-2)+1＞0 (x-1)2＞a(x-2)+1

，由a＞1，可得1＜2-

1

a

，上述不等式等价于

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

①，分1＜a＜2、a=2、a＞2三种情况分别求出原不等式的解集．

解答：解：原不等式等价于log₄ （x-1）²＞log₄[a（x-2）+1]（a＞1），
∴

x-1＞0 a(x-2)+1＞0 (x-1)2＞a(x-2)+1

，即

x＞1 x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

．
由于a＞1，所以1＜2-

1

a

，所以，上述不等式等价于

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

①，
（1）当1＜a＜2时，不等式组②等价于

x＞2- 1 a x＞2或x＜a

，此时，由于(2-

1

a

)-a=

-(a-1)2

a

＜0，所以 2-

1

a

＜a，
从而可得  2-

1

a

＜x＜a 或 x＞2．
（2）当a=2时，不等式组①等价于

x＞ 3 2 x≠2

，所以可得 x＞

3

2

 且x≠2．
（3）当a＞2时，不等式组①等价于

x＞2- 1 a x＜2或x＞a

，此时，由于2-

1

a

＜2，所以，2-

1

a

＜x＜2 或x＞a．
综上可知：当1＜a＜2时，原不等式的解集为{x|2-

1

a

＜x＜a ， 或x＞2}；
当a=2时，原不等式的解集为{x|x＞

3

2

，且x≠2}；
当a＞2时，原不等式的解集为{x|2-

1

a

＜x＜2或x＞a}．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．