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已知点的序列An(xn,0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,…,An是线段An-2An-1的中点,….
(Ⅰ)写出xn与xn-1、xx-2之间的关系式(n≥3);
(Ⅱ)设an=xn+1-xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明;
(Ⅲ)求
limn→∞
xn
分析:(I)根据题意,An是线段An-2An-1的中点,可得xn与xn-1、xn-2之间的关系式,
(II)由题意知a1=a,a2=-
1
2
a,a3=
1
4
a,由此推测:an=(-
1
2
n-1a(n∈N*)再进行证明.
(III)首先求出xn,然后根据(II)知{an}是公比为-
1
2
的等比数列,求出结果.
解答:解:(I)当n≥3时,xn=
xn-1+xn-2
2

(II)a1=x2-x1=aa2=x3-x2=
x2+x1
2
-x2=-
1
2
(x2-x1)=-
1
2
a
a3=x4-x2=
x3+x2
2
-x3=-
1
2
(x3-x2)=-
1
2
(-
1
2
a)=
1
4
a

由此推测.an=(-
1
2
)n-1
a(n∈N)
因为a1=a>0,且  
 an=xn+1-xn=
xn+xn-1
2
-xn
=
xn-1-xn
2
=-
1
2
(xn-xn-1)=-
1
2
an-1
(n≥2)
所以an=(-
1
2
)n-1a

(III)解:当n≥3时,有xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x2-x1)+x1=an-1+an-2+…+a1
由(II)知{an}是公比为-
1
2
的等比数列,所以
lim
n→∞
xn=
a1
1-(-
1
2
)
=
2
3
a
点评:本题考查数列的性质和应用以及数列的极限,解题时要注意公式的灵活运用.属于中档题.
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