精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

（1）求证：对任意的正实数x，不等式 $数学公式$ 都成立．
（2）求证：对任意的n∈N^*，不等式 $数学公式$ 总成立．

（1）证明：设函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．令f'（x）=0，得x= $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＞0，故函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上递增；
当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＜0，故函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上递减；
所以 $\text{[math]}$ ，对任意的x＞0，不等式 $\text{[math]}$ 总成立．
（2）证明：由（1）知：对x∈（0，+∞）均有 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ．
当n=1时，结论显然成立；
当n≥2时，有： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
综上可知，对任意的n∈N^*，不等式 $\text{[math]}$ 成立．
分析：（1）构造函数 $\text{[math]}$ ，求导函数，确定函数的单调性与极值，即可证得结论；
（2）由（1）知：对x∈（0，+∞）均有 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，由此利用放缩法及裂项法，即可证得结论．
点评：本题考查不等式的证明，考查构造函数，利用导函数研究函数的单调性与极值，解题的关键是构造函数、确定函数的单调性．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．
（1）求证：对任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C-AE-D的大小为60°，求λ的值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数g(x)=-

x3+

x2+cx(a≠0)，
（I）当a=1时，若函数g（x）在区间（-1，1）上是增函数，求实数c的取值范围；
（II）当a≥

时，（1）求证：对任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要条件是c≤

；
（2）若关于x的实系数方程g′（x）=0有两个实根α，β，求证：|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是-

≤c≤a2-a．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

（2012•汕头二模）在数列{a_n}中，a₁=1、a2=

，且an+1=

(n-1)an

n-an

(n≥2)．
（Ⅰ）求a₃、a₄，猜想a_n的表达式，并加以证明；
（Ⅱ）设bn=

an•an+1

an+1

，求证：对任意的自然数n∈N^*，都有b1+b2+…+bn＜

．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

已知曲线C：x²+y²+2kx+（4k+10）y+10k+20=0，其中常数k≠-1；
（1）求证：对任意的k，曲线C是圆，并且圆心在同一条直线上；
（2）证明：曲线C过定点；
（3）若曲线C与x轴相切，求k的值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

（1）求证：对任意的正实数x，不等式

lnx

≤

都成立．
（2）求证：对任意的n∈N^*，不等式

ln1

ln2

ln3

+…+

lnn

＜

总成立．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学

（1）求证：对任意的正实数x，不等式都成立．（2）求证：对任意的n∈N*，不等式总成立．

（1）求证：对任意的正实数x，不等式 $数学公式$ 都成立．
（2）求证：对任意的n∈N^*，不等式 $数学公式$ 总成立．