Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2

2

；
（1）求证：平面ABC⊥平面APC；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）若动点M在底面△ABC内（包含边界），二面角M-PA-C的余弦值为

3 10

10

，求BM的最小值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）证明平面ABC⊥平面APC，利用线面垂直证明，即证OP⊥平面ABC；
（2）作BC的中点E，连结PE，AE，利用面面垂直的判定定理得出平面PBC⊥平面PED，作PC的中点F，又D为AC的中点，推断出AP∥DF，进而可知直线PA与平面PBC所成角与直线DF与平面PBC所成角相等，有D向PE作垂线，交PE与G，判断出∠DFG为直线DF与平面PBC所成角，利用勾股定理求得PE，在Rt△PDE中，利用射影定理求得DG，在Rt△DGF中，求得sin∠DFG，即直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
（3）平面PAC的法向量

n2

=

OB

=（2，0，0），求出平面PAM的法向量，利用二面角M-PA-C的余弦值为

3 10

10

，可得n+2=

32 3

m，从而可求B点到AM的最小值．

解答： （1）证明：作AC的中点D，连结PD，BD，
∵PA=PC，
∴PD⊥AC，
∵PA=PB=AC=4，
∴∠PAC=60°，PD=

3

AD=2

3

，
∵AB=BC=2

2

，AC=4，
∴AC²=AB²+B²，
∴∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴BD=CD=2，
∴PB²=PD²+DB²，
∴PD⊥BD，
∵BD?平面ABC，AC?平面ABC，BD∩AC=D，
∴PD⊥平面ABC，
∵PD?平面APC，
∴平面ABC⊥平面APC．
（2）作BC的中点E，连结PE，AE，
∵PB=PC，AB=AC，
∴PE⊥BC，AE⊥BC，
∵PE?平面PDE，AE?平面PDE，PE∩AE=E，
∴BC⊥平面PDE，
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PED，
作PC的中点F，又D为AC的中点，
∴AP∥DF，
∴直线PA与平面PBC所成角与直线DF与平面PBC所成角相等，
有D向PE作垂线，交PE与G，
∵平面PBC⊥平面PED，平面PBC∩平面PED=PE，
∴DG⊥平面PBC，连结DF，
则∠DFG为直线DF与平面PBC所成角，
PD=2

3

，DE=

1

2

AB=

2

，DF=

1

2

AP=2
∴PE=

PD2+DE2

=

14

，
∴在Rt△PDE中，DG=

PD•DE

PE

=

2 3 × 2

14

=

2 6

14

，
在Rt△DGF中，sin∠DFG=

DG

DF

=

2 6

14

×

1

2

=

21

7

，
即直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

21

7

．
（3）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），C（0，2，0），P（0，0，2

3

），
有题意平面PAC的法向量

n2

=

OB

=（2，0，0），
设平面PAM的法向量

n3

=（x，y，z），M=（m，n，0），
∵

AP

=（0，2，2

3

），

AM

=（m，n+2，0），

AP

•

n3

=0，

AM

•

n3

=0，
∴

2y+2 3 z=0 mx+(n+2)y=0

，
取y=-1，可得

n3

=（

n+2

m

，-1，

3

3

），
∴cos＜

n2

，

n3

＞=

2(n-2) m

2 ( n+2 m )2+1+ 1 3

=

2 2

3

，
∴n+2=

32 3

n，
∴BM的最小值为垂直距离d=

8 70 -2 105

35

．

点评：本题考查面面垂直，考查线面角，考查平面法向量的求解，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确求出平面的法向量．