Question

（本题满分12分）

如图，四棱锥的侧面垂直于底面，，，，在棱上，是的中点，二面角为

（1）求的值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）。（2）直线与平面所成角的正弦值为。

【解析】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面所成的角，其中方法一的关键是熟练掌握二面角及线面夹角的定义，方法二的关键是建立空间直角坐标系，将问题转化为向量夹角问题．

解法一（几何法）：（Ⅰ）作ME∥CD交CD于E，由已知中，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，N是AD的中点，可得BN⊥AD，结合侧面PAD垂直于底面ABCD，及面面垂直和线面垂直的性质可得BN⊥NE，即∠DNE为二面角M-BN-C的平面角，由二面角M-BN-C为30°，可得∠DNE=30°，可求出DE= DP，进而得到所求的值。

（2）连接BE，由（Ⅰ）可知PE⊥平面BMN，即∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角．连接PN，则PN⊥平面ABCD，从而PN⊥BN，解△PBE可得直线PB与平面MBN所成的角。解法二（向量法）：（Ⅰ）建立如图所示的坐标系N-xyz，设PM=λPC（λ＞0），求出面MBN的法向量，及面BNC的法向量，由二面角M-BN-C为30°，求出λ值，即可得到值。

（2）由上可知（，0，3）为面MBN的法向量，设直线PB与平面MBN所成的角为θ，求出PB的方向向量

PB，代入线面夹角公式sinθ，可得直线PB与平面MBN所成的角．

（1）建立如图所示的坐标系，其中，，，，，。设，则，于是，……3分

设 为面的法向量，则，，取，又为面的法向量，由二面角为，得，

解得故。……6分

（2）由（1）知，为面的法向量……8分

设直线与平面所成的角为，由得

，

所以直线与平面所成角的正弦值为。……12分