Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长均为1，求点B₁到平面ABC₁的距离．

Answer 1

分析：点到面的距离计算通常采用等体积法，由图，B₁到平面ABC₁的距离即棱锥VB1-ABC1的高，而其体积与VC1-ABB1，VC1-ABB1易求，由此知只须解出面A₁B₁C₁的面积即可．

解答：解：由题意及图可知，S△ABB1=

1

2

，C₁到面ABB₁的距离是

3

2

  故VC1-ABB1=

1

3

×

3

2

×

1

2

=

3

12

  由正三棱柱的结构特征，C₁到线AB的距离是

12+ ( 3 2 ) 2

=

7

2

   故  S△ABC1=

1

2

×1×

7

2

=

7

4

  令B₁到平面ABC₁的距离为h，
  由VB1-ABC1=VC1-ABB1
  故

1

3

×h×

7

4

=

3

12

  解得h=

21

7

 即B₁到平面ABC₁的距离为

21

7

．

点评：本题的考点是点、线、面间的距离计算，根据几何体的结构灵活选择求解方法，点到面的距离计算常采用的方法是等体积法，其特征是一个几何体积有多个角度来求体积，且其中有一个易求，而点所对的面的面积易求，如此，则适合用等体积法求解．