Question

（2012•日照一模）如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC₁上任意一点，E是A₁B₁的中点．
（I）求证：A₁B₁∥平面ABD；
（II）求证：AB⊥CE；
（III）求三棱锥C-ABE的体积．

Answer 1

分析：（I）根据三棱柱的侧面ABB₁A₁是平行四边形，得A₁B₁∥AB，再结合线面平行的判定定理，可得A₁B₁∥平面ABD；
（II）取AB中点F，连接EF、CF．根据线面垂直的性质证出EF⊥AB，结合正△ABC中，中线CF⊥AB，所以AB⊥平面CEF，从而可得AB⊥CE；
（III）由三棱锥E-ABC与三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高，得三棱锥E-ABC的体积等于正三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积的

1

3

，求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积，从而得出三棱锥E-ABC的体积，即得三棱锥C-ABE的体积．

解答：解：（I）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁是平行四边形
∴A₁B₁∥AB
又∵A₁B₁?平面ABD，AB⊆平面ABD，
∴A₁B₁∥平面ABD；
（II）取AB中点F，连接EF、CF
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴侧面AA₁B₁B是矩形
∵E、F分别是A₁B₁、AB的中点，∴EF∥AA₁，
∵AA₁⊥平面ABC，AB⊆平面ABC，∴AA₁⊥AB，可得EF⊥AB，
∵正△ABC中，CF是中线，∴CF⊥AB
∵EF∩CF=F，∴AB⊥平面CEF
∵CE⊆平面CEF，∴AB⊥CE；
（III）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有棱长都为2
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=S_△ABC×AA₁=

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4

×2²×2=2

3

又∵三棱锥E-ABC与三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高
∴三棱锥E-ABC的体积V_E-ABC=

1

3

V_ABC-A1B1C1=

2 3

3

因此三棱锥C-ABE的体积V_C-ABE=V_E-ABC=

2 3

3

．

点评：本题给出所有棱长都相等的正三棱柱，求证线面平行并求三棱锥的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、线面平行的判定和柱体锥体的体积公式等知识，属于中档题．