Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长是2，D是棱BC的中点，点M 是棱BB₁的中点，又CM⊥AC₁，
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求二面角C-AC₁-D的大小．

Answer 1

分析：（I）取B₁C₁的中点D₁，以D点为坐标原点，以DD₁所在直线为z轴，以DA所在直线为x轴，所在DC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，设AA₁=m，求出直线A₁B的方向向量及平面AC₁D的法向量，根据两个向量数量积为0，两向量垂直，可得A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）分别求出平面AC₁D的法向量和平面AC₁C的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角C-AC₁-D的余弦值，进而得到二面角C-AC₁-D的大小．

解答：证明：（I）取B₁C₁的中点D₁，以D点为坐标原点，以DD₁所在直线为z轴，
以DA所在直线为x轴，所在DC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，设AA₁=m，
则D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(

3

，0，0)，M(0，-1，

m

2

)C1(0，1，m)，

CM

=(0，-2，

m

2

)，

AC1

=(-

3

，1，m)，
由AC₁⊥CM得

AC1

•

CM

=0?-2+

m2

2

=0?m=2，故AA₁=m=2
连A₁C，则A₁C∩AC₁=N，连DN，易得A₁B∥DN，
∵A₁B?平面AC₁D，DN?平面AC₁D，∴A₁B∥平面AC₁D；
（II）设平面AC₁D的法向量为

n

，
可求得

n

=(0，-2，1)，
设平面AC₁C的法向量为

m

，
可求得

m

=(1，

3

，0)，
cos＜

n

，

m

＞=

15

5

；
∴二面角C-AC₁-D的大小为arccos

15

5

．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，其中解答本题的关键是建立空间坐标系，将线面平行问题和二面角问题转化为向量垂直及向量夹角问题．