Question

4．己知函数f（x）=log_a（3x+1），g（x）=log_a（1-3x），（a＞0且a≠1）．
（1）求函数F（x）=f（x）-g（x）的定义域；
（2）判断F（x）=f（x）-g（x）的奇偶性，并说明理由4；
（3）确定x为何值时，有f（x）-g（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）由真数大于零即可列出方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞0}\\{1-3x＞0}\end{array}\right.$，解出即可；
（2）由F（-x）=log_a（-3x+1）-log_a（1+3x）=-F（x），再结合定义域即能得出答案．
（3）不等式f（x）-g（x）＞0转化为log_a（3x+1）＞log_a（1-3x），然后分当a＞1时和0＜a＜1两种情况进行讨论，利用对数函数的单调性列出方程组即得答案．

解答 解：（1）F（x）=f（x）-g（x）=log_a（3x+1）-log_a（1-3x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞0}\\{1-3x＞0}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{3}＜x＜\frac{1}{3}$．
∴F（x）=f（x）-g（x）的定义域是（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
（2）由（1）知F（x）定义域关于原点对称，
∵F（x）=log_a（3x+1）-log_a（1-3x），
F（-x）=log_a（-3x+1）-log_a（1+3x）=-F（x）．
∴F（x）=f（x）-g（x）是奇函数．
（3）∵f（x）-g（x）＞0，
∴f（x）＞g（x），
即 log_a（3x+1）＞log_a（1-3x），
①当a＞1时，$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞1-3x}\\{-\frac{1}{3}＜x＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得 0＜x＜$\frac{1}{3}$．
②当0＜a＜1时，$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＜1-3x}\\{-\frac{1}{3}＜x＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{3}＜x＜0$．
综上所述：当a＞1时，f（x）-g（x）＞0的解是0＜x＜$\frac{1}{3}$．
当0＜a＜1时，f（x）-g（x）＞0的解是-$\frac{1}{3}＜x＜0$．

点评 本题考查了对数函数的定义域，单调性及奇偶性的判断和分情况讨论思想．属于基础题．