Question

12．已知棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，P是过顶点B，D，D₁，B₁圆上的一点，Q为CC₁中点，则PQ与面ABCD所成角余弦值的取值范围是（　　）

• A． $[0，\frac{{\sqrt{5}}}{5}]$
• B． $[\frac{{\sqrt{5}}}{5}，1]$
• C． $[\frac{{\sqrt{10}}}{5}，1]$
• D． $[\frac{{\sqrt{15}}}{5}，1]$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，连结BD₁，DB₁，交于点O，过O作B₁D₁的垂线交延长，交$\widehat{{B}_{1}{D}_{1}}$于E，结合图形得QE与面ABCD所成角余弦值是PQ与面ABCD所成角余弦值的最小值，过Q作BC的平行线交圆于F，此时PQ与面ABCD所成角余弦值的取最大值，由此能求出PQ与面ABCD所成角余弦值的取值范围．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
连结BD₁，DB₁，交于点O，过O作B₁D₁的垂线交延长，交$\widehat{{B}_{1}{D}_{1}}$于E，
则OE=$\sqrt{3}$，Q（0，2，1），E（1，1，$\sqrt{3}+1$），
$\overrightarrow{QE}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
结合图形得QE与面ABCD所成角余弦值是PQ与面ABCD所成角余弦值的最小值，
设QE与面ABCD所成角为θ，
sinθ=|$\frac{\overrightarrow{QE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{QE}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{15}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
即PQ与面ABCD所成角余弦值的最小值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
过Q作BC的平行线交圆于F，此时PQ与面ABCD所成角余弦值的取最大值1，
∴PQ与面ABCD所成角余弦值的取值范围是[$\frac{\sqrt{10}}{5}$，1]．
故选：c．

点评 本题考查线面角的余弦值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想和空间间线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．