Question

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题评阅计分）
A．（选修4-4坐标系与参数方程） 已知圆C的圆心为（6，

π

2

），半径为5，直线θ=a(

π

2

≤θ＜π，ρ∈R)被圆截得的弦长为8，则a=

 

．
B．（选修4-5 不等式选讲）如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围是

 

；
C．（选修4-1 几何证明选讲），AB为圆O的直径，弦AC．BD交于点P，若AB=3，CD=1，则sin∠APD=

 

．

Answer 1

分析：A  把方程化为直角坐标方程，由弦长公式求得圆心到直线的距离d，再由点到直线的距离公式求得tana，从而求得a．
B 由于|x-3|-|x-4|的最小值等于-1，不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，则-1＜a．
C 由△PAB∽△PDC，可得  

1

3

=

PD

PA

，由PD⊥AD 可得，cos∠APD=

PD

PA

=

1

3

，利用同角三角函数的基本关系求得sin∠APD的值．

解答：解：A  由题意得 圆C的圆心为（0，6），圆C的方程为 x²+（y-6）²=25，
直线θ=a(

π

2

≤θ＜π，ρ∈R) 即  y=tana•x，tana•x-y=0．
设圆心到直线的距离等于d，由弦长公式得 8=2

r2-d2

=2

25-d2

，∴d=3，
再由点到直线的距离公式得 d=3=

|0-6|

tan2a+1

，∴tana=±

3

．
根据θ范围知，tana＜0，∴tana=-

3

，a=

2π

3

，故答案为

2π

3

．
B  由于|x-3|-|x-4|表示数轴上的x到3的距离减去它到4的距离，最小值等于-1，
如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，则-1＜a，即 a＞-1，故答案为-1．
C  如图所示：由题意得∠APB=∠DPC，∠PDC=∠PAB，∠PCD=∠PBA，
∴△PAB∽△PDC，∴

CD

AB

=

PD

PA

，

1

3

=

PD

PA

．∵PD⊥AD（直径对的圆周角等于90°），
∴cos∠APD=

PD

PA

=

1

3

，∴sin∠APD=

2 2

3

，故答案为 

2 2

3

．

点评：本题考查绝对值不等式的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，体现了数形结合的数学思想．