Question

已知奇函数 f (x) 在 (－?,0)∪(0,+?) 上有意义，且在 (0,+?) 上是增函数，f (1) = 0，又函数 g(?) = sin 2? + m cos ?－2m，若集合M = {m | g(?) < 0}，集合 N = {m | f [g(?)] < 0}，求M∩N.

 

Answer 1

.

【解析】

试题分析：根据条件中是奇函数的这一条件可以求得使的的范围，再根据与的表达式，可以得到与的交集即是使恒成立的所有的全体，通过参变分离可以将问题转化为求使恒成立的的取值范围，通过求函数最大值，进而可以求出的范围.

依题意，，又在上是增函数，

∴在 上也是增函数， 1分

∴ 由得或 2分

∴ 或 3分

4分

由得 5分

即 6分

∴ 7分

设， 9分

∵， 10分

∴， 11分

且 12分

∴的最大值为 13分

∴ 14分

另【解析】
本题也可用下面解法：

1. 用单调性定义证明单调性

∵对任意 ，，，

∴，

即在上为减函数，

同理在上为增函数，得 5分

∴.

2. 二次函数最值讨论

【解析】
依题意，，又在上是增函数，

∴在 上也是增函数，

∴由得或

∴或，

4分

由得恒成立，

5分

设， 6分

∵，的对称轴为 7分

1? 当，即 时，在为减函数，∴ 9分

2? 当，即 时，

∴ 11分

3? 当，即时，在为增函数，

∴无解 13分

综上， 14分

3. 二次方程根的分布

【解析】
依题意，，又在上是增函数，

∴在 上也是增函数，

∴ 由得或

∴ 或，，

由得恒成立，

，

设，

∵，的对称轴为，， 7分

1? 当，即时，恒成立。 9分

2? 当，即或时，

由在上恒成立

∴ 13分

综上， 14分

4.用均值不等式（下学段不等式内容）

∵，∴，

且，即时等号成立。

∴的最大值为.

∴. 5分

考点：1、恒成立问题的处理方法；2、函数最值的求法.