Question

【题目】如图所示，已知是正三角形，若平面，平面平面，且．

（1）求证：平面；

（2）若平面，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）过点作于点，由面面垂直性质知平面，可知，由线面平行判定可得到结论；

（2）根据垂直关系可以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果.

（1）过点作于点，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，，又平面，平面；

（2），，，，，

平面，，

，，是的中点，

，连结，则，平面，

，，四边形是矩形，．

以为原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

设，则，，，，，，

，，

设平面的一个法向量为，

则，取，则，，，

取平面的一个法向量为，

，

二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.