Question

【题目】已知点F1为椭圆的左焦点，在椭圆上，PF1⊥x轴．

（1）求椭圆的方程：

（2）已知直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为的大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1；（2）∠AOB为定值

【解析】

（1）由PF1⊥x轴，及点P的坐标可得F1的坐标，即c的值，将P的坐标代入，由a，b，c之间的关系的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；

（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论：当斜率不存在时由原点到直线的距离可得直线l的方程，代入椭圆中求出A，B的坐标，进而可得数量积的值为0，可得∠AOB；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由原点到直线的距离可得参数之间的关系，将其代入数量积的表达式，可得恒为0，即∠AOB恒为定值

（1）因为PF1⊥x轴，又在椭圆上，可得F1(﹣1，0)，

所以c=1，1，a2=c2+b2，

解得a2=2，b2=1，

所以椭圆的方程为：y2=1；

（2）当直线l的斜率不存在时，由原点O到直线l的距离为，

可得直线l的方程为：x，

代入椭圆可得A(,)，B(,)或A(,)，B(,)，

可得，所以∠AOB；

当直线l的斜率存在时，设直线的方程为：y=kx+m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由原点O到直线l的距离为，可得，可得3m2＝2(1+k2)，①

直线与椭圆联立，整理可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，

=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0，将①代入中可得=16m2+8>0，

x1+x2，x1x2，

y1y2＝k2x1x2+km(x1+x2)+m2，

所以，

将①代入可得0，

所以∠AOB；

综上所述∠AOB恒成立．