Question

【题目】如图，在五面体中，，，，，.

（1）证明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

(1)根据平行的传递性可得,再取中点为,连接,进而可得四边形为平行四边形,再根据勾股定理证明,进而得到平面.

(2) 以点为坐标原点,分别以、的方向为轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,再分别求解平面的法向量与平面的法向量,进而求得二面角的余弦值即可.

（1）证明：因为,,

所以.

取中点为,连接,所以,

因为,,所以且,

所以四边形为平行四边形,所以,且.

因为,,

所以,所以,

因为,所以.

因为,所以平面.

（2）由（1）知,平面,

因为,所以平面.

故以点为坐标原点,分别以、的方向为轴、

轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.

所以

所以,

设平面的法向量为,

则,

所以,

取,则,

设平面的法向量为,因为,

所以,

所以,

取,则,

所以,

所以二面角的余弦值为.