Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a∈N^*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用“3个二次”的关系即可得出；
（2）不等式恒成立问题，通过分离参数转化为可以利用基本不等式求函数的最值．

解答：解：（1）∵不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），
∴f（1）-2=0，f（4）-8=0，且a＞0．
又方程f（x）=x有两个相等的实数根，即ax²+（b-1）x+c=0的△=（b-1）²-4ac=0．
联立

a+b+c-2=0 16a+4b+c-8=0 (b-1)2-4ac=0 a＞0

，解得

a=1 b=-3 c=4

．
∴f（x）=x²-3x+4．
（2）不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立?m＜

f(x)

x

=x+

4

x

-3在x∈（1，+∞）上恒成立；
令g（x）=x+

4

x

-3(x＞1)，则g(x)≥2

x• 4 x

-3=4-3=1，当且仅当x=2时取等号．
∴m＜1．

点评：解本题的关键是根据一元二次不等式的解集得到对应方程的根，对于不等式恒成立问题，通过分离参数转化为可以利用基本不等式求函数的最值得到．