Question

已知sinα=

5

13

，α∈(

π

2

，π)．
（Ⅰ）求cosα；
（Ⅱ）求tan

α

2

-cos(π-2α)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由sinα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值即可；
（Ⅱ）由第一问求出的cosα的值，以及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出tanα的值，再利用二倍角的正切函数公式表示出tanα，把tanα的值代入可列出关于tan

α

2

的方程，求出方程的解可得出tan

α

2

，所求式子的第二项先利用诱导公式表示，再利用二倍角的余弦函数公式变形后，把sinα的值代入即可求出cos2α的值，进而求出所求式子的值．

解答：解：（Ⅰ）∵sinα=

5

13

，α∈(

π

2

，π)，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

12

13

；
（Ⅱ）∵tanα=

sinα

cosα

=-

5

12

，又tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

，
∴

2tan α 2

1-tan2 α 2

=-

5

12

，即（5tan

α

2

+1）（tan

α

2

-5）=0，
解得：tan

α

2

=-

1

5

，或tan

α

2

=5，
因为α∈(

π

2

，π)，所以

α

2

∈（

π

4

，

π

2

），
所以tan

α

2

＞0，故tan

α

2

=5，
又cos（π-2α）=-cos2α=-2cos²α+1=-2×(-

12

13

)2+1=-

119

169

，
则tan

α

2

-cos(π-2α)=5+

119

169

=5

119

169

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的余弦、正切函数公式，以及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键，学生在求值时注意角度的范围．