Question

设数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，对于任意的n∈N₊，an，Sn，an2成等差数列，设数列{b_n}的前n项和为T_n，且bn=

lnnx

an2

，则对任意的实数x∈（1，e]（e是自然对数的底）和任意正整数n，T_n小于的最小正整数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据题意，可得2S_n=a_n+a_n²①与2S_n-1=a_n-1+a_n-1²②成立，①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，可以化简为a_n-a_n-1=1（n≥2），进而可得{a_n}是公差为1的等差数列，由对数的性质，分析可得对任意x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，而a_n=n，则总有bn=

lnnx

an2

≤

1

n2

，用放缩法和裂项相消法，可得T_n的范围，进而得到答案．

解答：解：根据题意，对于任意n∈N*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列，则对于n∈N^*，总有2S_n=a_n+a_n²①成立
∴2S_n-1=a_n-1+a_n-1²（n≥2）②
①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，即a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）；
∵a_n，a_n-1均为正数，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列，
又n=1时，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1
∴a_n=n．（n∈N^*）
对任意实数x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，
对于任意正整数n，总有bn=

lnnx

an2

≤

1

n2

，
∴Tn≤

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

(n-1)

-

1

n

=2-

1

n

＜2
对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有T_n＜2
故T_n小于的最小正整数为2
故选B

点评：本题考查数列与不等式，其中对于T_n范围的解答，一般用放缩法，使用时，注意适当放缩，否则不会得到证明．