Question

已知数列满足,我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列：当时,得到有穷数列：.

（Ⅰ）求当为何值时；

（Ⅱ）设数列满足, ，求证：取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列；

（Ⅲ）若，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）当为何值时

         (Ⅱ)证明略

        （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）

 

(Ⅱ) 解法一：,,

当时, ,

当时,,,

当时,,.

一般地, 当时,可得一个含有项的有穷数列.

下面用数学归纳法证明.

(1)当时, ,显然,可得一个含有2项的有穷数列

(2)假设当时,,得到一个含有项的有穷数列,其中

,则时,,,

     由假设可知, 得到一个含有项的有穷数列,其中.

所以,当时, 可以得到一个含有项的有穷数列,,其中

由(1),(2)知,对一切,命题都成立.

解法二：

故取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列.

（Ⅲ）即,

所以要使,当且仅当它的前一项满足.

由于,所以只须当时,都有

由,得, 解得.