已知函数f(x)=ex,x∈R.
(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;
(2)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数.
(1)k=(2)若0<m<,曲线y=f(x)与y=mx2没有公共点;若m=,曲线y=f(x)与y=mx2有一个公共点;若m>,曲线y=f(x)与y=mx2有两个公共点
【解析】(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x.
设直线y=kx+1与g(x)=ln x的图像在P(x0,y0)处相切,则有y0=kx0+1=ln x0,k=g′(x0)=,
解得x0=e2,k=.
(2)曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等于曲线y=与直线y=m的公共点个数.
令φ(x)=,则φ′(x)=,∴φ′(2)=0.
当x∈(0,2)时,φ′(x)<0,φ(x)在(0,2)上单调递减;当x∈(2,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)在(2,+∞)上单调递增.
∴φ(x)在(0,+∞)上的最小值为φ(2)=.
综上所述,当x>0时,大致图像如图所示,
若0<m<,曲线y=f(x)与y=mx2没有公共点;
若m=,曲线y=f(x)与y=mx2有一个公共点;
若m>,曲线y=f(x)与y=mx2有两个公共点
科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集3A讲练习卷(解析版) 题型:选择题
设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-2y的最小值为( )
A.-6 B.-4 C.2 D.4
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集1B讲练习卷(解析版) 题型:选择题
设z1=2i,z2=,则z1·z2=( )
A.1 B.1-i C.1+i D.2-i
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集19讲练习卷(解析版) 题型:填空题
设函数f(x)=x-,对任意x∈[1,+∞),f(2mx)+2mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集18讲练习卷(解析版) 题型:填空题
已知函数f(x)=3x+sin x-2cos x的图像在点A(x0,f(x0))处的切线斜率为3,则tan x0的值是________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集18讲练习卷(解析版) 题型:选择题
直线y=x+b与曲线y=-x+ln x相切,则b的值为( )
A.-2 B.1 C.- D.-1
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集17讲练习卷(解析版) 题型:选择题
某同学学业水平考试的9科成绩的茎叶图如图所示,则根据茎叶图可知该同学的平均分为( )
A.79 B.80 C.81 D.82
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集14讲练习卷(解析版) 题型:选择题
已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点到渐近线的距离是焦距的,则双曲线的离心率是( )
A.2 B.4 C. D.
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