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已知函数f(x)exxR.

(1)若直线ykx1f(x)的反函数的图像相切求实数k的值;

(2)x>0讨论曲线yf(x)与曲线ymx2(m>0)公共点的个数.

 

1k20<m<曲线yf(x)ymx2没有公共点;若m曲线yf(x)ymx2有一个公共点;若m>曲线yf(x)ymx2有两个公共点

【解析】(1)f(x)的反函数为g(x)ln x.

设直线ykx1g(x)ln x的图像在P(x0y0)处相切则有y0kx01ln x0kg′(x0)

解得x0e2k.

(2)曲线yexymx2的公共点个数等于曲线y与直线ym的公共点个数.

φ(x)φ′(x),∴φ′(2)0.

x∈(02),φ′(x)<0,φ(x)(02)上单调递减;当x∈(2∞),φ′(x)>0,φ(x)(2∞)上单调递增.

∴φ(x)(0∞)上的最小值为φ(2).

综上所述x>0大致图像如图所示

0<m<曲线yf(x)ymx2没有公共点;

m曲线yf(x)ymx2有一个公共点;

m>曲线yf(x)ymx2有两个公共点

 

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