Question

若函数y=f（x）（x∈R⁺）同时满足：①对一切正数x都有f（3x）=3f（x），②f（x）=1-|x-2|（1＜x＜3），则当x∈[1，3ⁿ]时，函数y=f（x）的图象与x轴围成的封闭图形的面积为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：求出函数f（x）在[3^n-1，3ⁿ]上的面积，利用等比数列的前n项和公式进行即计算即可得到结论．

解答： 解：∵函数y=f（x）满足f（3x）=3f（x），且f（x）=1-|x-2|（1＜x＜3），
∴函数f（x）对应的图象如图：
∴f（2）=1，f（6）=3f（2）=3，f（18）=3f（6）=9f（2）=9，…
当x∈[1，3]时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S₁=

1

2

•2•（3-1）•1=1
当x∈[3¹，3²]时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S₂=

1

2

•2•（3²-3¹）•3¹=9
当x∈[3²，3³]时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S₃=

1

2

•（3³-3²）•3²=81
…
当x∈[3^n-1，3ⁿ]时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S_n-1=

1

2

•（3ⁿ-3^n-1）•3^n-1=3^2n-2
此时函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S=S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=1+9+81+…+3^2n-2=

1-9n

1-9

=

9n-1

8

．
∴y=f（x）的图象与X轴围成的图形面积为

9n-1

8

，
故答案为：

9n-1

8

．

点评：本题主要考查函数的图象和性质，利用函数之间的关系求出相应区间上的三角形的面积是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．