Question

给出下列五个命题中，其中所有正确命题的序号是

 

．
①函数f（x）=

x2-3x

+3

x2-5x+4

的最小值是3．
②函数f（x）=|x²-4|，若f（m）=f（n），且0＜m＜n，则动点P（m，n）到直线5x+12y+39=0的最小距离是3-2

2

．
③命题“函数f（x）=xsinx+1，当x₁，x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，且|x₁|＞|x₂|时，有f（x₁）＞f（x₂）”是真命题．
④函数f（x）=

3

2

cos2ax+sinaxcosax-

3

2

sin2ax+1的最小正周期是1的充要条件是a=1．
⑤已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，

OA

、

OB

为不共线的向量，又

OC

=a1

OA

+a4026

OB

，若

CA

=λ

AB

，则S₄₀₂₆=2013．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①先求函数的定义域，再根据二次函数和复合函数的单调性即可得出最小值；
②利用图象可知：f（m）=|m²-4|=4-m²，f（n）=|n²-4|=n²-4，再利用f（m）=f（n）及其点到直线的距离公式即可得出；
③先判断函数f（x）奇偶性，再利用导数研究x∈[0，

π

2

]时的单调性即可得出；
④利用倍角公式和两角和差的正弦公式及其周期公式即可得出；
⑤利用向量共线定理和等差数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：在①中，函数的定义域是

x2-3x≥0 x2-5x+4≥0

解得：x∈（-∞，0]∪[4，+∞），
当x∈（-∞，0]时，f(x)=

x2-3x

+3

x2-5x+4

是减函数，f（x）_min=f（0）=3，
当x∈[4，+∞）时f(x)=

x2-3x

+3

x2-5x+4

是增函数，f（x）_min=f（4）=9＞3，
∴当x∈（-∞，0]∪[4，+∞），其f（x）_min=3．
因此①正确．
在②中，由f（m）=f（n），且0＜m＜n，利用图象可知：0＜m＜2，2＜n＜2

2

，
∴f（m）=|m²-4|=4-m²，f（n）=|n²-4|=n²-4，
∵f（m）=f（n）∴4-m²=n²-4，即m²+n²=8，
则动点P（m，n）的轨迹是以O（0，0）为圆心，半径r=2

2

的圆，
∴点P（m，n）到直线5x+12y+39=0的最小距离是d-r（d是点P到直线的距离），
∵d=

|5×0+12×0+39|

13

=3，
∴d-r=3-2

2

，
∵是点P的值取不到，∴d-r也不能取到最小值．
故②错．
在③中，函数f（x）=xsinx+1是偶函数，且x∈[0，

π

2

]时，f′（x）=sinx+xcosx≥0，
即f（x）=xsinx+1是增函数，当|x₁|＞|x₂|时，有f（x₁）＞f（x₂）．
故③正确．
在④中，由函数f（x）=

3

2

cos2ax+sinaxcosax-

3

2

sin2ax+1=

3

2

cos2ax+

1

2

sin2ax+1，
整理得，f(x)=sin(2ax+

π

3

)+1，函数的周期T=

2π

|2a|

=1，a=±1，
故④错误．
在⑤中，由

CA

=λ

AB

知，A、B、C三点共线，且

OC

=a1

OA

+a4026

OB

，
∴a₁+a₄₀₂₆=1，∴S4026=

(a1+a4026)×4026

2

=2013，
故⑤正确．
综上可知：只有①③⑤正确．
故答案为：①③⑤．

点评：本题综合考查了二次函数和复合函数的单调性、二次函数的图象、点到直线的距离公式、函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性、倍角公式、两角和差的正弦公式及其周期公式、向量共线定理和等差数列的前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力及其数形结合的能力，属于难题．