Question

已知函数f（x）=x|x|-mx
（1）证明：函数f（x）=x|x|-mx为奇函数；
（2）当m=-2时，判断函数f（x）在（-2，0）上的单调性并加以证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．（2）根据二次函数的图象和性质即可证明函数的单调性．

解答： 解：（1）∵f（x）=x|x|-mx，∴f（-x）=-x|x|+mx=-（x|x|-mx）=-f（x），
即函数f（x）=x|x|-mx为奇函数；
（2）当m=-2时，函数f（x）在（-2，0）上的单调递增．
证明：当m=-2时，f（x）=x|x|+2x，
当x∈（-2，0）上，f（x）=x|x|+2x=-x²+2x=-（x-1）²+1，
对称轴x=1，抛物线开口向下，
∴此时函数单调递增．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用相应的定义和性质是解决本题的关键，难度不是太大．