Question

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

3

sinB-cosB=1．
（Ⅰ）若A=

5π

12

，b=1，求c；
（Ⅱ）若a=2c，求A．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知等式左边提取2，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再由A的度数，利用三角形的内角和定理求出C的度数，进而由sinC，sinB及b的值，利用正弦定理即可求出c的值；
（Ⅱ）由余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，将a=2c及cosB的值代入，用c表示出b，再利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形，即A为直角，得到A的度数．

解答：（共13分）
解：（Ⅰ）由已知

3

sinB-cosB=1，
整理得：2（

3

2

sinB-

1

2

cosB）=1，即sin（B-

π

6

）=

1

2

，…（3分）
∵0＜B＜π，
∴-

π

6

＜B-

π

6

＜

5π

6

．
∴B-

π

6

=

π

6

，解得：B=

π

3

，…（4分）
由A=

5π

12

，且A+B+C=π，得C=

π

4

，又b=1，
∴由

c

sinC

=

b

sinB

得：c=

bsinC

sinB

=

1× 2 2

3 2

=

6

3

；…（7分）
（Ⅱ）∵b²=a²+c²-2accosB，又a=2c，B=

π

3

，
∴b²=4c²+c²-4c²×

1

2

，
解得：b=

3

c，…（10分）
∴a²=4c²，b²+c²=3c²+c²=4c²，即a²=b²+c²，
则△ABC为直角三角形，且A=

π

2

．…（13分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，勾股定理的逆定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．